Расчёты с использованием концентраций, растворимости и кристаллогидратов

Цели урока

• Рассчитывать массовую долю растворённого вещества и молярную концентрацию
• Решать задачи на смешение растворов (правило креста или уравнение масс)
• Использовать значение растворимости для расчёта массы соли в насыщенном растворе
• Учитывать кристаллогидраты при приготовлении растворов и в задачах на выпадение осадков
• Переходить от одного способа выражения концентрации к другому

Зачем это нужно на ЕГЭ

Задание 26 (расчёт массовой доли вещества в растворе) и особенно задание 34 (комбинированная расчётная задача высокого уровня сложности) регулярно включают в себя:

• растворы с заданной массовой долей,
• добавление кристаллогидратов,
• учёт растворимости,
• смешение растворов с разными концентрациями.

Без уверенного владения этими расчётами невозможно получить высокий балл за вторую часть ЕГЭ.

Теория

1. Способы выражения концентрации растворов

Массовая доля ($\omega$)

$$\omega = \frac{m_{\text{вещ}}}{m_{\text{р-ра}}}, \quad \omega\% = \omega \cdot 100\%$$

• $m_{\text{р-ра}} = m_{\text{вещ}} + m_{\text{воды}}$ (если раствор состоит из вещества и воды)
• Массовая доля — безразмерная величина (или проценты)

Молярная концентрация ($C$)

$$C = \frac{n_{\text{вещ}}}{V_{\text{р-ра}}(\text{л})}, \quad \text{единица: моль/л}$$

Связь с массовой долей (плотность раствора $\rho$ в г/мл, объём в литрах):

$$C = \frac{1000 \cdot \omega \cdot \rho}{M_{\text{вещ}}}$$

где $1000$ — перевод мл в л.

2. Растворимость ($S$)

Растворимость — масса вещества (в граммах), которая может раствориться в 100 г растворителя (обычно воды) при данной температуре с образованием насыщенного раствора.

• Массовая доля в насыщенном растворе:

$$\omega_{\text{нас}} = \frac{S}{100 + S}$$

• Если к насыщенному раствору добавить ещё соли, избыток выпадет в осадок (без изменения концентрации).

3. Кристаллогидраты

Кристаллогидраты — соли, содержащие молекулы кристаллизационной воды (например, $\text{CuSO}_4 \cdot 5\text{H}_2\text{O}$, $\text{Na}_2\text{CO}_3 \cdot 10\text{H}_2\text{O}$).

• Молярная масса кристаллогидрата $M_{\text{кр}} = M_{\text{безв}} + x \cdot M(\text{H}_2\text{O})$, где $x$ — число молекул воды.
• При растворении кристаллогидрата в воде в раствор переходит безводная соль, а кристаллизационная вода становится частью растворителя.
• Масса безводной соли в кристаллогидрате:

$$m_{\text{безв}} = m_{\text{кр}} \cdot \frac{M_{\text{безв}}}{M_{\text{кр}}}$$

4. Основные типы задач

4.1. Приготовление раствора из твёрдого вещества и воды

$m_{\text{вещ}} = m_{\text{р-ра}} \cdot \omega$, $m_{\text{воды}} = m_{\text{р-ра}} - m_{\text{вещ}}$.

4.2. Смешение двух растворов одного вещества

Правило креста (конверт Пирсона) или уравнение:

$$m_1 \cdot \omega_1 + m_2 \cdot \omega_2 = (m_1 + m_2) \cdot \omega_3$$

4.3. Упаривание / добавление воды

При упаривании испаряется только вода, масса вещества не меняется. При добавлении воды масса вещества остаётся прежней, масса раствора увеличивается.

4.4. Задачи с кристаллогидратами

При растворении кристаллогидрата:

• масса безводной соли $= m_{\text{кр}} \cdot \frac{M_{\text{безв}}}{M_{\text{кр}}}$
• масса воды в растворе $= m_{\text{воды, добавленной}} + m_{\text{кристаллизационной воды}}$

Примеры

Пример 1. Расчёт массовой доли при растворении твёрдого вещества

Условие: В 200 г воды растворили 50 г хлорида натрия. Найдите массовую долю соли в полученном растворе.

Решение:

1. $m_{\text{р-ра}} = 200 + 50 = 250$ г.
2. $\omega = \frac{50}{250} = 0.2$ (или 20%).

Ответ: 20%.

Пример 2. Приготовление раствора заданной концентрации

Условие: Сколько граммов сульфата натрия и воды нужно взять для приготовления 300 г 15% раствора?

Решение:

1. $m_{\text{вещ}} = 300 \cdot 0.15 = 45$ г.
2. $m_{\text{воды}} = 300 - 45 = 255$ г.

Ответ: 45 г $\text{Na}_2\text{SO}_4$ и 255 г воды.

Пример 3. Смешение двух растворов

Условие: Смешали 120 г 10% раствора сахара и 80 г 25% раствора сахара. Определите массовую долю сахара в полученном растворе.

Решение:

1. Масса вещества в первом растворе: $120 \cdot 0.10 = 12$ г.
2. Масса вещества во втором растворе: $80 \cdot 0.25 = 20$ г.
3. Общая масса вещества: $12 + 20 = 32$ г.
4. Общая масса раствора: $120 + 80 = 200$ г.
5. $\omega = \frac{32}{200} = 0.16$ (16%).

Ответ: 16%.

Пример 4. Задача с кристаллогидратом

Условие: В 250 г воды растворили 50 г медного купороса ($\text{CuSO}_4 \cdot 5\text{H}_2\text{O}$). Найдите массовую долю безводного $\text{CuSO}_4$ в полученном растворе.

Решение:

1. $M(\text{CuSO}_4) = 64 + 32 + 64 = 160$ г/моль.
2. $M(\text{CuSO}_4 \cdot 5\text{H}_2\text{O}) = 160 + 5 \cdot 18 = 160 + 90 = 250$ г/моль.
3. Масса безводной соли в 50 г кристаллогидрата: $m(\text{CuSO}_4) = 50 \cdot \frac{160}{250} = 50 \cdot 0.64 = 32$ г.
4. Масса кристаллизационной воды: $50 - 32 = 18$ г.
5. Общая масса воды в растворе: $250 + 18 = 268$ г.
6. Масса раствора: $32 + 268 = 300$ г (или $250 + 50 = 300$ г — проверка).
7. $\omega = \frac{32}{300} \approx 0.1067$ (10.67%).

Ответ: 10.67%.

Пример 5. Расчёт через молярную концентрацию

Условие: В 200 мл раствора содержится 4 г гидроксида натрия. Найдите молярную концентрацию.

Решение:

1. $M(\text{NaOH}) = 40$ г/моль, $n = \frac{4}{40} = 0.1$ моль.
2. $V = 200$ мл $= 0.2$ л.
3. $C = \frac{0.1}{0.2} = 0.5$ моль/л.

Ответ: 0.5 моль/л.

Пример 6. Растворимость и массовая доля насыщенного раствора

Условие: Растворимость $\text{KNO}_3$ при 20°C составляет 31.6 г на 100 г воды. Какова массовая доля нитрата калия в насыщенном растворе?

Решение:

1. $S = 31.6$ г / 100 г $\text{H}_2\text{O}$.
2. Масса насыщенного раствора: $100 + 31.6 = 131.6$ г.
3. $\omega = \frac{31.6}{131.6} \approx 0.240$ (24.0%).

Ответ: 24.0%.

Вопросы для самопроверки

1. Запишите формулу перехода от массовой доли к молярной концентрации (с плотностью).
2. Что такое кристаллогидрат? Как найти массу безводной соли в 100 г $\text{Na}_2\text{CO}_3 \cdot 10\text{H}_2\text{O}$ ($M = 286$ г/моль, $M_{\text{безв}} = 106$ г/моль)?
3. В 300 г воды растворили 20 г $\text{CuSO}_4 \cdot 5\text{H}_2\text{O}$. Какова масса безводного $\text{CuSO}_4$ в растворе?
4. Смешали 200 г 15% раствора и 300 г 5% раствора одного вещества. Какова массовая доля в новой смеси?
5. Растворимость $\text{NaCl}$ при 25°C равна 36 г на 100 г воды. Сколько граммов соли нужно добавить к 200 г воды для получения насыщенного раствора?

Краткий конспект

• Массовая доля $\omega = \frac{m_{\text{вещ}}}{m_{\text{р-ра}}}$. Проценты = $\omega \cdot 100\%$.
• Молярная концентрация $C = \frac{n}{V(\text{л})}$ (моль/л).
• Растворимость $S$ (г/100 г растворителя) → $\omega_{\text{нас}} = \frac{S}{100 + S}$.
• Кристаллогидраты: безводная соль + кристаллизационная вода. При растворении кристаллизационная вода переходит в растворитель.
• Правило смешения: сумма масс веществ = массовая доля смеси × общая масса.
• В ЕГЭ эти навыки проверяются в заданиях 26 (прямой расчёт) и 34 (комбинированные задачи).

Что изучать дальше

• Урок 64: Расчёты с избытком и примесями
• Урок 65: Расчёты выхода продукта реакции
• Урок 66: Расчёты, если исходное вещество дано в виде раствора — продолжение темы растворов.
• Урок 76: Комбинированные расчётные задачи